Oui tu perdras mai. Il faut au moins un jour pour toucher le mois. J'ai dû reprendre le 31 août en revenant travailler juste un jour pour toucher mon mois (un vendredi aussi !). Donc tu devras reprendre le travail le 31 mai en mettant cette date sur ton attestation de temps partiel employeur ; ensuite les congés c'est ente toi et ton employeur (donc tu peux les prendre à partir du 1er juin).
La CAF ne fait pas de différence si tu es en public ou en privé, c'est peut-être une règle d'octroie du temps partiel pour les fonctionnaire, mais rien voir avec comment en perçue la CAF je pense.